Teorija

12. Tjedan

• Lekcija o redovima realnih brojeva: Definicije, kriteriji konvergencije i primjene**

---

1. Red realnih brojeva

1.1. Definicija reda kao niza parcijalnih suma

Neka je $(a_n)$ niz realnih brojeva. Redom nazivamo formalni zbroj

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots.$$

Konvergencija reda definira se na temelju parcijalnih suma. Parcijalna suma $S_N$ reda $\sum a_n$ glasi

$$S_N = \sum_{n=1}^N a_n.$$

Ako postojećem nizu $(a_n)$ pridružimo niz parcijalnih suma $(S_N)$, kažemo da red konvergira ako taj niz parcijalnih suma $(S_N)$ konvergira u $\mathbb{R}$.

1.2. Notacija za redove $\sum_{n=1}^\infty a_n$

Često susrećemo skraćeni zapis:

• $\sum_{n=1}^\infty a_n$ označava cijeli red.
• $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ označava $N$-tu parcijalnu sumu.

1.3. Primjeri redova (aritmetički, geometrijski, harmonijski, hipergarmonijski )

1. Aritmetički red (rijedak je slučaj da konvergira, obično divergira): $$\sum_{n=1}^\infty \bigl(a_1 + (n-1)d\bigr) \quad \text{(d gotovo uvijek dovodi do divergencije).}$$
2. Geometrijski red: $$\sum_{n=0}^\infty ar^n.$$ Konvergira ako $|r| < 1$, a suma je tada $$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r}.$$
3. Harmonijski red: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}.$$ Ovaj red je klasičan primjer divergentnog reda, iako su članovi $a_n = \tfrac{1}{n} \to 0$.
4. Hipergarmonijski red: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}.$$ Konvergira za $p>1$, a divergira za $p \le 1$.

---

2. Nužan uvjet konvergencije

2.1. Definicija konvergentnog reda

Red $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ naziva se konvergentan ako niz parcijalnih suma $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ konvergira u $\mathbb{R}$. Postoji realan broj $S$ takav da:

$$\lim_{N \to \infty} S_N = S.$$

2.2. Nužan uvjet ($\lim_{n \to \infty} a_n = 0$)

Ako je red $\sum a_n$ konvergentan, nužno je da

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$

Ovo je nužan, ali ne i dovoljan uvjet. Kad članovi reda ne teže nuli, red sigurno divergira.

2.3. Primjeri kada red ne zadovoljava nužan uvjet

• $\sum_{n=1}^\infty 1$ ($a_n = 1$) očito divergira jer $a_n$ ne teži 0.
• $\sum_{n=1}^\infty n$ ($a_n = n$) divergiraju još “jače” (članovi “rastu”).

2.4. Ograničenja nužnog uvjeta

Ipak, postoji mnoštvo primjera gdje $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, a red je svejedno divergentan. Najpoznatiji je:

• Harmonijski red $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$.

Stoga, treba tražiti dodatne kriterije (testove) za konvergenciju osim samog uvjeta da $a_n \to 0$.

Konvergentnost i Divergentnost

• Konvergentan niz ili red ima konačan zbroj ili graničnu vrijednost - ide prema nekom broju ili vrijednosti.
• Divergentan niz ili red nema konačan zbroj ili graničnu vrijednost - ili raste u beskonačnost ili oscilira bez konačnog rezultata

---

3. Kriteriji konvergencije

3.1. Integralni kriterij

Djeluje kada je $a_n = f(n)$ za neku monotonu funkciju $f$ koja je pozitivna na $[1, \infty)$. Tada vrijedi ekvivalentnost:

$$\sum_{n=1}^\infty f(n) \text{ konvergira} \;\Longleftrightarrow\; \int_1^\infty f(x)\,dx \text{ konvergira.}$$

Primjer: za $f(x) = \frac{1}{x^p}$, $\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx$ konvergira ako i samo ako $p>1$. Odatle dobijemo da $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ konvergira za $p>1$.

3.2. Kriterij usporedbe

Direktni kriterij usporedbe

Ako $0 \le a_n \le b_n$ za sve $n$, pa ako $\sum b_n$ konvergira, onda i $\sum a_n$ konvergira. Obrnuto, ako $\sum a_n$ divergira, tada i $\sum b_n$ divergira.

Limni kriterij usporedbe

Ako $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c$ gdje je $c$ realan broj različit od 0, tada $\sum a_n$ i $\sum b_n$ ili obje konvergiraju ili obje divergiraju.

Primjer: Usporedba $\sum \frac{1}{n^2}$ i $\sum \frac{1}{n^3}$. Znamo da $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergira. Budući da $\frac{1}{n^3} < \frac{1}{n^2}$ za $n \ge 1$, onda i $\sum \frac{1}{n^3}$ konvergira (direktna usporedba).

3.3. D’Alembertov kriterij (omjerni kriterij)

Za red $\sum a_n$, ako postoji

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L,$$

onda:

• Ako je $L < 1$, red konvergira apsolutno.
• Ako je $L > 1$, red divergira.
• Ako je $L = 1$, test je neodlučan i moramo tražiti druge metode.

3.4. Cauchyjev kriterij (korijenski kriterij)

Ispitujemo

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L.$$

• Ako je $L < 1$, red konvergira apsolutno.
• Ako je $L > 1$, red divergira.
• Ako je $L = 1$, test ne može odrediti rezultat.

3.5. Raabeov kriterij

Sličan D’Alembertovu, ali malo finiji:

$$\lim_{n\to\infty} n\bigl(\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} - 1\bigr) = \alpha.$$

• Ako je $\alpha > 1$, red konvergira apsolutno.
• Ako je $\alpha < 1$, red divergira.
• Ako je $\alpha = 1$, test je neodlučan.

3.6. Primjeri primjene svakog kriterija

1. Geometrijski red: $\sum r^n$.
   • D’Alembert: $\left|\frac{r^{n+1}}{r^n}\right| = |r|$. Ako $|r|<1$, konvergira, inače divergira.
2. p-red $\sum \frac{1}{n^p}$:
   • Integralni kriterij ili usporedba s $\int \frac{1}{x^p}\,dx$ pokazuje konvergenciju za $p>1$.
3. Raabeov kriterij je koristan za rubne slučajeve, npr. $\sum \frac{1}{n (\ln n)^\beta}$, itd.

---

4. Apsolutna konvergencija

4.1. Definicija apsolutne konvergencije

Red $\sum a_n$ apsolutno konvergira ako red $\sum |a_n|$ konvergira. Apsolutna konvergencija je “najjača” vrsta konvergencije.

4.2. Povezanost apsolutne i uvjetne konvergencije

• Ako $\sum a_n$ apsolutno konvergira, tada svakako konvergira (obična konvergencija).
• Ako $\sum a_n$ konvergira, ali $\sum |a_n|$ divergira, tada je govorimo o uvjetnoj konvergenciji.

4.3. Primjeri apsolutno i uvjetno konvergentnih redova

1. Alternirani harmonijski red $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ konvergira, ali ne apsolutno, jer $\sum \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}$ divergira. Dakle, to je primjer uvjetne konvergencije.
2. Geometrijski red $\sum (0.5)^n$ konvergira apsolutno (naravno, jer su svi članovi već pozitivni).

4.4. Riemannov teorem o preuređivanju uvjetno konvergentnih redova

Kod uvjetno konvergentnih redova $\sum a_n$, moguće je preurediti članove (mijenjati im redoslijed) tako da se dobije različita suma, pa čak i divergirajući red! Time se pokazuje da nema asocijativnosti i komutativnosti u beskonačnim sumama bez apsolutne konvergencije.

---

5. Alternirani redovi

5.1. Definicija alterniranih redova

Alternirani redovi su oni čiji se članovi izmjenjuju po predznaku, npr.

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} b_n \quad \text{ili} \quad \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n,$$

gdje je $b_n \ge 0$.

5.2. Lejeune-Dirichletov kriterij za alternirane redove

Ako je $(b_n)$ monoton opadajući niz realnih brojeva koji teži nuli ($b_n \to 0$), tada alternirani red $\sum (-1)^n b_n$ konvergira.

5.3. Konvergencija alterniranog harmonijskog reda

Alternirani harmonijski red:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}.$$

On konvergira (ali ne apsolutno), što pokazuje Lejeune-Dirichletov kriterij jer $\frac{1}{n}$ je monoton opadajući i teži nuli.

5.4. Primjeri alterniranih redova

• Alternirani harmonijski $\sum \frac{(-1)^n}{n}$.
• $\sum (-1)^n \frac{1}{n^p}$ za $p>0$. Slično se može testirati apsolutna konvergencija gledajući $\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^p}\right| = \sum \frac{1}{n^p}$.

---

6. Primjena redova realnih brojeva

6.1. Redovi u analizi funkcija

Mnogi koncepti u analizi funkcija ovise o redovima, primjerice serije kojima se definiraju Fourierovi redovi, ili redovi kojima se definira Potencijalna teorija i sl.

6.2. Taylorovi i Maclaurinovi redovi

• Maclaurinov red za funkciju $f(x)$ je Taylorov red oko točke 0: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.$$
• Korištenjem takvih redova, možemo proširiti funkcije u formalnu sumu i na taj način ih aproksimirati za male vrijednosti $x$.

6.3. Numeričke aproksimacije pomoću redova

• Izračun vrijednosti transcendentnih funkcija (poput $\sin x, e^x, \ln(1+x)$) često se temelji na sumiranju polinomskih ili potencijskih redova do nekog graničnog člana gdje dobijemo željenu točnost.

---

7. Zaključak

7.1. Ključni pojmovi i njihova međusobna povezanost

• Redovi su definirani preko parcijalnih suma.
• Nužan uvjet za konvergenciju je $a_n \to 0$.
• Postoje razni kriteriji konvergencije (usporedba, omjerni, korijenski, integralni...) za testiranje.
• Apsolutna vs. uvjetna konvergencija → temeljna razlika za stabilnost reda.
• Alternirani redovi imaju svoje specifične kriterije (Lejeune-Dirichlet).

7.2. Primjena kriterija za analizu konvergencije redova

• U praksi, najčešće kombiniramo omjerni (D’Alembert), korijenski (Cauchyjev), usporedbe i integralni kriterij.
• Za složenije redove, ponekad je potrebno “fino” prilagoditi test ili ih i više kombinirati.

7.3. Važnost apsolutne konvergencije i alterniranih redova

• Apsolutno konvergentni redovi su “najsigurniji” – redoslijed zbrajanja ne utječe na sumu.
• Kod uvjetno konvergentnih redova može doći do rearrangement divergencije ili promjene vrijednosti.
• Alternirani redovi javljaju se često u matematičkim i fizikalnim problemima gdje se signali ili efekti izmjenjuju po predznaku.

Vježbe

Ispit

Kako se definira aritmetički red realnih brojeva?

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

$a_n = a_{n-1} + d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = a_{n-1} \cdot r$

Koja od sljedećih notacija pravilno predstavlja red realnih brojeva?

$\prod_{n=1}^\infty a_n$

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

$\int_{1}^\infty a_n \, dn$

$\lim_{n \to \infty} a_n$

Koji je nužni uvjet za konvergenciju reda $\sum_{n=1}^\infty a_n$?

$\lim_{n \to \infty} a_n = 1$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

$a_n > 0$ za sve $n$

Koji od sljedećih redova je harmonijski red?

$\sum_{n=1}^\infty n$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

$\sum_{n=1}^\infty 2^n$

Što označava $\lim_{n \to \infty} S_N = S$ u kontekstu reda?

Niz parcijalnih suma divergiraju prema $S$.

Parcijalna suma $S_N$ konvergira prema $S$ kada $N$ teži beskonačnosti.

Prvi član niza je $S$.

Red je aritmetički red s razlikom $S$.

Koji od sljedećih redova ne zadovoljava nužan uvjet za konvergenciju?

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$

Kako se primjenjuje D’Alembertov kriterij na geometrijski red $\sum_{n=0}^\infty ar^n$?

Red konvergira ako je $|r| > 1$.

Red konvergira ako je $|r| < 1$.

Red konvergira ako je $a > 0$.

Red konvergira za sve vrijednosti $r$.

Što je apsolutna konvergencija reda $\sum_{n=1}^\infty a_n$?

Red konvergira kada su svi članovi pozitivni.

Red konvergira ako red $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ konvergira.

Red konvergira samo kada red $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergira.

Red konvergira ako je $a_n \ge 0$ za sve $n$.

Koji kriterij konvergencije se koristi za alternirane redove?

Integralni kriterij

D’Alembertov kriterij

Lejeune-Dirichletov kriterij

Cauchyjev kriterij

Što je granična vrijednost alterniranog harmonijskog reda $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$?

$\ln 2$

$e$

$0$

Nije definirana

Koja je primjena Taylorovog reda u analizi funkcija?

Definiranje parametarskih funkcija

Aproksimacija funkcija polinomima oko određene točke

Računanje integrala funkcija

Pronalaženje nultočke funkcija